Упр.28.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) f(x) = sin x * cos x, g(x) = 1/2 x + 61;
б) f(x) = sin x * cos 2x + sin 2x * cos x, g(x) = 35 — 3x;
в) f(x) = sin^2 x — cos^2 x, g(x) = -2x + 9;
г) f(x) = xcos x, g(x) = sin x.

1. а) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\quad g(x)=\frac12 x+61.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x(\cos x)’=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x, $$
   $$ g'(x)=\left(\frac12 x+61\right)’=\frac12. $$

   Решаем неравенство:

   $$ \cos 2x\le \frac12. $$

   $$ \frac{\pi}{3}+2\pi n\le 2x\le \frac{5\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   $$ \frac{\pi}{6}+\pi n\le x\le \frac{5\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

2. б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos 2x+\sin 2x\cdot \cos x,\quad g(x)=35-3x.$$

   Упростим функцию:

   $$ f(x)=\sin x\cos 2x+\sin 2x\cos x=\sin( x+2x)=\sin 3x. $$

   Тогда

   $$ f'(x)=3\cos 3x,\qquad g'(x)=(35-3x)’=-3. $$

   Решаем неравенство:

   $$ 3\cos 3x\le -3 \;\;\Longrightarrow\;\; \cos 3x\le -1. $$

   Это возможно только при

   $$ \cos 3x=-1,\qquad 3x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   $$ x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z. $$

3. в) $$f(x)=\sin^2 x-\cos^2 x,\quad g(x)=-2x+9.$$

   Преобразуем:

   $$ f(x)=-(\cos^2 x-\sin^2 x)=-\cos 2x. $$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=2\sin 2x,\qquad g'(x)=(-2x+9)’=-2. $$

   Решаем неравенство:

   $$ 2\sin 2x\le -2 \;\;\Longrightarrow\;\; \sin 2x\le -1. $$

   Значит,

   $$ \sin 2x=-1,\qquad 2x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

   $$ x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$

4. г) $$f(x)=x\cos x,\quad g(x)=\sin x.$$

   Найдём производные:

   $$ f'(x)=(x)’\cos x+x(\cos x)’=\cos x-x\sin x, $$
   $$ g'(x)=(\sin x)’=\cos x. $$

   Решаем неравенство:

   $$ \cos x-x\sin x\le \cos x \;\;\Longrightarrow\;\; -x\sin x\le 0 $$
   $$ x\sin x\ge 0. $$

   Произведение неотрицательно, когда числа одного знака или одно из них равно нулю:

   $$ x\ge 0,\ \sin x\ge 0 \quad \text{или} \quad x\le 0,\ \sin x\le 0. $$

   Отсюда:

   $$ x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\quad n\ge 0, $$
   $$ x\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\quad n\le 0. $$

Ответ

а) $$x\in\left[\frac{\pi}{6}+\pi n;\,\frac{5\pi}{6}+\pi n\right],\quad n\in\mathbb Z;$$

б) $$x=\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z;$$

в) $$x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z;$$

г) $$x\in[2\pi n;\,\pi+2\pi n],\ n\ge 0;\quad x\in[-\pi+2\pi n;\,2\pi n],\ n\le 0.$$