Упр.28.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

образует острый угол с положительным направлением оси x, если:
а) h(x) = x^3 — Зx^2 + 1;
б) h(x) = 4корень(х) — x;
в) h(x) = x^3 — x^4 — 19;
г) h(x) = tg x — 4x.

1. Касательная образует острый угол с положительным направлением оси $$x$$ тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент положителен, то есть $$h'(x)>0$$.

2. а) $$h(x)=x^3-3x^2+1$$

   $$h'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$$
   $$3x(x-2)>0$$
   $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$

3. б) $$h(x)=4\sqrt{x}-x$$, $$x\ge 0$$

   $$h'(x)=\frac{4}{2\sqrt{x}}-1=\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$$
   $$\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}>0$$

   Так как $$\sqrt{x}>0$$, получаем:

   $$2-\sqrt{x}>0$$
   $$\sqrt{x}<2$$
   $$0<x<4$$

4. в) $$h(x)=x^3-x^4-19$$

   $$h'(x)=3x^2-4x^3=x^2(3-4x)$$
   $$x^2(3-4x)>0$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0$$, а $$3-4x>0$$, то

   $$x\ne 0,\quad x<\frac34$$

   $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right)$$

5. г) $$h(x)=\tg x-4x$$

   $$h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}-4=\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}$$
   $$\frac{1-4\cos^2 x}{\cos^2 x}>0$$

   Так как $$\cos^2 x>0$$ в области определения, то

   $$1-4\cos^2 x>0$$
   $$\cos^2 x<\frac14$$
   $$|\cos x|<\frac12$$

   Отсюда

   $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;0)\cup(2;+\infty)$$;
б) $$x\in(0;4)$$;
в) $$x\in(-\infty;0)\cup\left(0;\frac34\right)$$;
г) $$\frac{\pi}{3}+\pi n<x<\frac{2\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.