Упр.28.35 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) f(x) = корень(х) — х, k = 1;
б) f(x) = sin x * cos x, k = -корень(2)/2;
в) f(x) = корень(x) + 3x, k = 4;
г) f(x) = cos^2 x, k = 1/2.
а) $$f(x)=\sqrt{x}-x,\quad k=1$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’-\left(x\right)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}-1$$
Приравняем её к заданному значению:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}-1=1$$
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=2$$
$$2\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$
$$\sqrt{x}=\frac{1}{4}$$
$$x=\left(\frac{1}{4}\right)^2=\frac{1}{16}$$
б) $$f(x)=\sin x\cdot \cos x,\quad k=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(\sin x)’\cos x+\sin x\cdot(\cos x)’=\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)=\cos^2 x-\sin^2 x=\cos 2x$$
Составим уравнение:
$$\cos 2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Тогда
$$2x=\pm \frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
в) $$f(x)=\sqrt{x}+3x,\quad k=4$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{x}\right)’+(3x)’=\frac{1}{2\sqrt{x}}+3$$
Приравняем к 4:
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}+3=4$$
$$\frac{1}{2\sqrt{x}}=1$$
$$2\sqrt{x}=1$$
$$\sqrt{x}=\frac{1}{2}$$
$$x=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}$$
г) $$f(x)=\cos^2 x,\quad k=\frac{1}{2}$$
Найдём производную:
$$f'(x)=(\cos x)^2{}’ = 2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x$$
Составим уравнение:
$$-\sin 2x=\frac{1}{2}$$
$$\sin 2x=-\frac{1}{2}$$
Тогда
$$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}$$
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}$$
Ответ
а) $$\frac{1}{16}$$; б) $$x=\pm \frac{3\pi}{8}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z}$$.
