Упр.26.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) lim h(x) = 4 и функция возрастает;
x — > +бесконечность
б) lim h(x) = 1 и функция ограничена снизу;
x — > +бесконечность
в) lim h(x) = 5 и функция убывает;
x — > -бесконечность
г) lim h(x) = 1 и функция ограничена.
x — > бесконечность
Подойдёт, например, функция
$$h(x)=4-2^{-x}.$$
Так как при $$x\to +\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0,$$ то
$$\lim_{x\to +\infty} h(x)=4.$$
Кроме того, $$2^{-x}$$ убывает, значит $$-2^{-x}$$ возрастает, следовательно, возрастает и $$h(x).$$
Подойдёт, например, функция
$$h(x)=1+2^{-x}.$$
При $$x\to +\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0,$$ значит
$$\lim_{x\to +\infty} h(x)=1.$$
Так как $$2^{-x}>0$$ при всех $$x,$$ то $$h(x)>1,$$ то есть функция ограничена снизу числом $$1.$$
Подойдёт, например, функция
$$h(x)=5-2^{-x}.$$
При $$x\to -\infty$$ имеем $$2^{-x}\to 0,$$ поэтому
$$\lim_{x\to -\infty} h(x)=5.$$
Поскольку $$2^{-x}$$ возрастает, то $$-2^{-x}$$ убывает, значит убывает и $$h(x).$$
Подойдёт, например, функция
$$h(x)=1+\frac{6}{2^x+2^{-x}}.$$
При $$x\to +\infty$$ знаменатель $$2^x+2^{-x}\to +\infty,$$ значит
$$\lim_{x\to +\infty} h(x)=1.$$
Кроме того, $$2^x+2^{-x}\ge 2,$$ поэтому
$$1<h(x)\le 4.$$
Следовательно, функция ограничена.
Ответ
Например: а) $$h(x)=4-2^{-x}$$; б) $$h(x)=1+2^{-x}$$; в) $$h(x)=5-2^{-x}$$; г) $$h(x)=1+\frac{6}{2^x+2^{-x}}$$.
