Упр.26.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) lim (С… + 2) / (x^3 + 8);
x — > -2
Р±) lim (1 + x^3) / (1 — x^2);
x — > -1
РІ) lim (x — 3) / (x^3 — 27);
x — > 3
Рі) lim (16 — x^2) / (64 — x^3).
x — > 4

1. $$\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{x^3+8}$$

   Разложим знаменатель на множители:

   $$x^3+8=(x+2)(x^2-2x+4)$$

   Тогда

   $$\lim_{x\to -2}\frac{x+2}{(x+2)(x^2-2x+4)}=\lim_{x\to -2}\frac{1}{x^2-2x+4}$$

   Подставим $$x=-2$$:

   $$\frac{1}{(-2)^2-2\cdot(-2)+4}=\frac{1}{4+4+4}=\frac{1}{12}$$

2. $$\lim_{x\to -1}\frac{1+x^3}{1-x^2}$$

   Разложим на множители:

   $$1+x^3=(1+x)(1-x+x^2), \qquad 1-x^2=(1-x)(1+x)$$

   Сократим на $$1+x$$:

   $$\lim_{x\to -1}\frac{1-x+x^2}{1-x}$$

   Подставим $$x=-1$$:

   $$\frac{1-(-1)+(-1)^2}{1-(-1)}=\frac{1+1+1}{2}=\frac{3}{2}$$

3. $$\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{x^3-27}$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^3-27=(x-3)(x^2+3x+9)$$

   Тогда

   $$\lim_{x\to 3}\frac{x-3}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{1}{x^2+3x+9}$$

   Подставим $$x=3$$:

   $$\frac{1}{3^2+3\cdot 3+9}=\frac{1}{9+9+9}=\frac{1}{27}$$

4. $$\lim_{x\to 4}\frac{16-x^2}{64-x^3}$$

   Разложим на множители:

   $$16-x^2=(4-x)(4+x), \qquad 64-x^3=(4-x)(16+4x+x^2)$$

   Сократим на $$4-x$$:

   $$\lim_{x\to 4}\frac{4+x}{16+4x+x^2}$$

   Подставим $$x=4$$:

   $$\frac{4+4}{16+4\cdot 4+4^2}=\frac{8}{16+16+16}=\frac{8}{48}=\frac{1}{6}$$

Ответ

а) $$\frac{1}{12}$$; б) $$\frac{3}{2}$$; в) $$\frac{1}{27}$$; г) $$\frac{1}{6}$$.