Упр.25.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) x + x^2 + x^3 + x^4 + … + x^n + … = 4;
б) 2x — 4x^2 + 8x^3 — 16x^4 + … = 3/8.

а) Последовательность $$x,\;x^2,\;x^3,\;\ldots$$ является бесконечной геометрической прогрессией, где

$$b_1=x,\qquad q=x.$$

Так как $$|x|<1,$$ сумма бесконечной геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{x}{1-x}.$$

По условию:

$$\frac{x}{1-x}=4.$$

Решим уравнение:

$$ x=4(1-x) \\ x=4-4x \\ 5x=4 \\ x=\frac45=0{,}8 $$

б) Последовательность $$2x,\;-4x^2,\;8x^3,\;-16x^4,\;\ldots$$ также является бесконечной геометрической прогрессией, где

$$b_1=2x,\qquad q=-2x.$$

Тогда

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2x}{1+2x}.$$

По условию:

$$\frac{2x}{1+2x}=\frac38.$$

Решим уравнение:

$$ 8\cdot 2x=3(1+2x) \\ 16x=3+6x \\ 10x=3 \\ x=\frac{3}{10}=0{,}3 $$

Ответ

а) $$0{,}8$$; б) $$0{,}3$$.