Упр.24.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) yn = (2n + 1)(n — 3) / n2;
б) yn = (3n + 1)(4n — 1) / (n — 1)^2;
в) yn = (3n — 2)(2n + 3) / n2;
г) yn = (1 — 2n)(1 + n) / (n + 2)^2.

1. а)

   $$y_n=\frac{(2n+1)(n-3)}{n^2}=\frac{2n^2-5n-3}{n^2}=2-\frac{5}{n}-\frac{3}{n^2}.$$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=2-0-0=2.$$

2. б)

   $$y_n=\frac{(3n+1)(4n-1)}{(n-1)^2}=\frac{12n^2+n-1}{n^2-2n+1}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$n^2$$:
   $$ y_n=\frac{12+\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}}{1-\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}. $$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{12+0-0}{1-0+0}=12.$$

3. в)

   $$y_n=\frac{(3n-2)(2n+3)}{n^2}=\frac{6n^2+5n-6}{n^2}=6+\frac{5}{n}-\frac{6}{n^2}.$$
   Следовательно,
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=6+0-0=6.$$

4. г)

   $$y_n=\frac{(1-2n)(1+n)}{(n+2)^2}=\frac{1-n-2n^2}{n^2+4n+4}.$$
   Делим числитель и знаменатель на $$n^2$$:
   $$ y_n=\frac{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n}-2}{1+\frac{4}{n}+\frac{4}{n^2}}. $$
   Тогда
   $$\lim_{n\to\infty} y_n=\frac{0-0-2}{1+0+0}=-2.$$

Ответ

а) $$2$$; б) $$12$$; в) $$6$$; г) $$-2$$.