Упр.24.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) yn = (-2)^n;
б) yn = cos пи / (n + 5);
в) yn = n3 — 5;
г) yn = корень(n + 8).

Подробный ответ

а) $$y_n=(-2)^n$$
Найдём отношение соседних членов:
$$ \frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{(-2)^{n+1}}{(-2)^n}=-2<0 $$
Знаки членов последовательности чередуются, значит, она не является монотонной.
Ответ: не монотонная.
б) $$y_n=\cos\frac{\pi}{n+5}$$
При увеличении $$n$$ величина $$\frac{\pi}{n+5}$$ убывает и принимает значения из промежутка $$\left(0;\frac{\pi}{6}\right]$$.
На этом промежутке функция $$y=\cos x$$ убывает по аргументу, значит, при уменьшении аргумента значения косинуса возрастают.
Следовательно, последовательность монотонно возрастает.
Ответ: монотонно возрастающая.
в) $$y_n=n^3-5$$
Рассмотрим разность соседних членов:
$$ y_{n+1}-y_n=((n+1)^3-5)-(n^3-5) $$
$$ =n^3+3n^2+3n+1-n^3=3n^2+3n+1>0 $$
Значит, $$y_{n+1}>y_n$$ при всех натуральных $$n$$, то есть последовательность возрастает.
Ответ: монотонно возрастающая.
г) $$y_n=\sqrt{n+8}$$
Найдём отношение соседних членов:
$$ \frac{y_{n+1}}{y_n}=\frac{\sqrt{n+9}}{\sqrt{n+8}}=\sqrt{\frac{n+9}{n+8}}=\sqrt{1+\frac{1}{n+8}}>1 $$
Следовательно, $$y_{n+1}>y_n$$, и последовательность монотонно возрастает.
Ответ: монотонно возрастающая.