Упр.23.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 1 / (2sin 10) — 2sin 70;
б) tg 60 / sin 40 + 4cos 100.

Подробный ответ

а)

$$ \frac{1}{2\sin 10^\circ}-2\sin 70^\circ = \frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ} $$

Используем формулу произведения в сумму:
$$ 2\sin 70^\circ\sin 10^\circ=\cos(70^\circ-10^\circ)-\cos(70^\circ+10^\circ) $$
Тогда
$$ 1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ = 1-2\bigl(\cos 60^\circ-\cos 80^\circ\bigr) $$
$$ = 1-2\cdot \frac12+2\cos 80^\circ = 2\sin 10^\circ $$
Следовательно,
$$ \frac{1-4\sin 70^\circ\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ} = \frac{2\sin 10^\circ}{2\sin 10^\circ} =1. $$

б)

$$ \frac{\tg 60^\circ}{\sin 40^\circ}+4\cos 100^\circ = \frac{\tg 60^\circ+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ} $$

Так как $$\tg 60^\circ=\sqrt{3}$$, а
$$ 2\sin 40^\circ\cos 100^\circ=\sin(40^\circ+100^\circ)+\sin(40^\circ-100^\circ), $$
то
$$ \frac{\sqrt{3}+4\sin 40^\circ\cos 100^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{\sqrt{3}+2\sin 140^\circ+2\sin(-60^\circ)}{\sin 40^\circ}. $$

Учитывая, что $$\sin 140^\circ=\sin 40^\circ$$ и $$\sin(-60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$, получаем:
$$ \frac{\sqrt{3}+2\sin 40^\circ-\sqrt{3}}{\sin 40^\circ} = \frac{2\sin 40^\circ}{\sin 40^\circ} =2. $$