Упр.23.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos^2 3 + cos^2 1 — cos 4 * cos 2;
6) sin^2 10 + cos 50 * cos 70.

а) Используем формулы:

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}, \qquad \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}.$$

Тогда

$$ \cos^2 3^\circ+\cos^2 1^\circ-\cos 4^\circ\cdot \cos 2^\circ = \frac{1+\cos 6^\circ}{2}+\frac{1+\cos 2^\circ}{2}-\frac{\cos 6^\circ+\cos 2^\circ}{2}. $$

Приведём подобные:

$$ \frac{1+\cos 6^\circ+1+\cos 2^\circ-\cos 6^\circ-\cos 2^\circ}{2} = \frac{2}{2}=1. $$

б) Аналогично:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos \alpha \cos \beta=\frac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}{2}.$$

Получаем

$$ \sin^2 10^\circ+\cos 50^\circ\cdot \cos 70^\circ = \frac{1-\cos 20^\circ}{2}+\frac{\cos 120^\circ+\cos 20^\circ}{2}. $$

Так как $$\cos 120^\circ=-\frac12,$$ то

$$ \frac{1-\cos 20^\circ+\cos 120^\circ+\cos 20^\circ}{2} = \frac{1-\frac12}{2} = \frac14. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac14$$.