Упр.23.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 2sin x * cos 3x + sin 4x = 0;
6) sin x/2 * sin 3x/2 = 1/2.

а)

$$2\sin x\cos 3x+\sin 4x=0$$
$$2\cdot \frac12\bigl(\sin(3x+x)+\sin(x-3x)\bigr)+\sin 4x=0$$
$$\sin 4x+\sin(-2x)+\sin 4x=0$$
$$2\sin 4x-\sin 2x=0$$
$$4\sin 2x\cos 2x-\sin 2x=0$$
$$\sin 2x\,(4\cos 2x-1)=0$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 4\cos 2x-1=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}, \quad n\in\mathbb Z.$$

2) $$4\cos 2x-1=0 \Rightarrow \cos 2x=\frac14 \Rightarrow 2x=\pm \arccos\frac14+2\pi n,$$
$$x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

б)

$$\sin\frac{x}{2}\sin\frac{3x}{2}=\frac12$$
$$\frac12\left(\cos\left(\frac{x}{2}-\frac{3x}{2}\right)-\cos\left(\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)\right)=\frac12$$
$$\cos(-x)-\cos 2x=1$$
$$\cos x-\cos 2x=1$$
$$\cos x-(2\cos^2 x-1)=1$$
$$2\cos^2 x-\cos x=0$$
$$\cos x\,(2\cos x-1)=0.$$

Отсюда:

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0.$$

1) $$\cos x=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

2) $$\cos x=\frac12 \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\; x=\pm \frac12\arccos\frac14+\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$