Упр.23.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) sin 3x * cos x = sin 5x/2 * cos 3x/2;
б) 2sin (пи/4 + x) * sin (пи/4 — x) + sin^2 x= 0;
в) sin 2x * cos x = sin x * cos 2x;
г) cos 2x * cos x = cos 2,5x * cos 0,5x.
$$\sin 3x \cdot \cos x=\sin \frac{5x}{2}\cdot \cos \frac{3x}{2}$$
Используем формулы произведения в сумму:
$$ \frac{\sin(3x+x)+\sin(3x-x)}{2} = \frac{\sin\left(\frac{5x}{2}+\frac{3x}{2}\right)+\sin\left(\frac{5x}{2}-\frac{3x}{2}\right)}{2} $$
$$ \sin 4x+\sin 2x=\sin 4x+\sin x $$
$$ \sin 2x-\sin x=0 $$
$$ 2\sin \frac{2x+x}{2}\cos \frac{2x-x}{2}=0 $$
$$ \sin x\,(2\cos x-1)=0 $$
$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x-1=0 $$
$$ x=\pi n \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12 $$
$$ x=\pi n \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
$$2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right)+\sin^2 x=0$$
Применим формулу:
$$ 2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B) $$
$$ 2\sin\left(\frac{\pi}{4}+x\right)\sin\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \cos 2x-\cos \frac{\pi}{2} $$
$$ \cos 2x+\sin^2 x=0 $$
$$ \cos^2 x-\sin^2 x+\sin^2 x=0 $$
$$ \cos^2 x=0 $$
$$ \cos x=0 $$
$$ x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
$$\sin 2x\cdot \cos x=\sin x\cdot \cos 2x$$
Преобразуем произведения в сумму:
$$ \frac{\sin(2x+x)+\sin(2x-x)}{2} = \frac{\sin(x+2x)+\sin(x-2x)}{2} $$
$$ \sin 3x+\sin x=\sin 3x+\sin(-x) $$
$$ \sin x=-\sin x $$
$$ 2\sin x=0 $$
$$ \sin x=0 $$
$$ x=\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
$$\cos 2x\cdot \cos x=\cos 2{,}5x\cdot \cos 0{,}5x$$
Используем формулу произведения в сумму:
$$ \frac{\cos(2x-x)+\cos(2x+x)}{2} = \frac{\cos(2{,}5x-0{,}5x)+\cos(2{,}5x+0{,}5x)}{2} $$
$$ \cos x+\cos 3x=\cos 2x+\cos 3x $$
$$ \cos x-\cos 2x=0 $$
$$ \cos x- (2\cos^2 x-1)=0 $$
$$ 2\cos^2 x-\cos x-1=0 $$
Пусть $$y=\cos x$$. Тогда:
$$ 2y^2-y-1=0 $$
$$ (2y+1)(y-1)=0 $$
$$ y=-\frac12 \quad \text{или} \quad y=1 $$
$$ \cos x=-\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=1 $$
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=2\pi n,\quad n\in \mathbb Z $$
Ответ
а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
в) $$x=\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
г) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ 2\pi n,\ n\in \mathbb Z$$
