Упр.22.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(3)sin х + cos х + 2 = 12/пи х;
б) корень(2)(cos х — sin x) = 2x — пи/2.

а) $$\sqrt{3}\sin x+\cos x+2=\frac{12}{\pi}x$$

Преобразуем левую часть к виду $$C\sin(x+t)$$:

$$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac12\cos x\right)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right).$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)+2=\frac{12}{\pi}x,$$
$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{12x}{\pi}-2,$$
$$\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{6x-\pi}{\pi}.$$

Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right)\le 1,$$ то

$$-1\le \frac{6x-\pi}{\pi}\le 1,$$
$$-\pi\le 6x-\pi\le \pi,$$
$$0\le 6x\le 2\pi,$$
$$0\le x\le \frac{\pi}{3}.$$

На этом отрезке графики функций пересекаются в точке $$x=\frac{\pi}{3}.$$

б) $$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2x-\frac{\pi}{2}$$

Преобразуем левую часть:

$$\sqrt{2}(\cos x-\sin x)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right)=2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$2\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=2x-\frac{\pi}{2},$$
$$\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=x-\frac{\pi}{4}.$$

Поскольку $$-1\le \cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ получаем

$$-1\le x-\frac{\pi}{4}\le 1,$$
$$\frac{\pi}{4}-1\le x\le \frac{\pi}{4}+1.$$

Из графика видно, что решениями являются $$x=0$$ и $$x=1.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{3}$$; б) $$x=0,\ 1$$.