Упр.22.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) (sin С… + корень(3)cos x)^2 — 5 = cos (РїРё/6 — С…);
Р±) (корень(3)sin С… — cos x)^2 + 1 = 4cos (С… + РїРё/3).

1. а) Преобразуем сумму:

   $$\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\frac12\sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Тогда уравнение принимает вид

   $$\left(2\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\right)^2-5=\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right).$$

   Так как $$\cos\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right),$$ положим

   $$y=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right).$$

   Получаем квадратное уравнение:

   $$4y^2-y-5=0.$$

   $$D=1+80=81,$$

   $$y_{1,2}=\frac{1\pm 9}{8}.$$

   Отсюда

   $$y_1=-1,\qquad y_2=\frac54.$$

   Значение $$\frac54$$ не подходит, так как $$|\cos|\le 1.$$

   Значит,

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=-1.$$

   Тогда

   $$x-\frac{\pi}{6}=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

   $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n.$$

2. б) Преобразуем разность:

   $$\sqrt{3}\sin x-\cos x=-2\left(\frac12\cos x-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)=-2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Тогда

   $$\left(-2\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\right)^2+1=4\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Обозначим

   $$t=\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right).$$

   Получаем:

   $$4t^2-4t+1=0,$$

   $$\left(2t-1\right)^2=0,$$

   $$t=\frac12.$$

   Следовательно,

   $$\cos\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12.$$

   Тогда

   $$x+\frac{\pi}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Отсюда

   $$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n.$$

Ответ

а) $$x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$x=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ 2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$