Упр.22.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin х + cos х + корень(2) = 2корень(2)cos^2 (x/2 — пи/8);
б) cos 2x — sin 2x — корень(2) = -2корень(2)sin^2 (x + пи/8).

а) Преобразуем сумму в тригонометрическую форму:

$$ \sin x+\cos x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin x+\frac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right). $$

Тогда

$$ \sin x+\cos x+\sqrt2=\sqrt2\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt2 =\sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right). $$

Используем формулу $$1+\cos 2\alpha=2\cos^2\alpha$$ при $$\alpha=\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}$$:

$$ \sqrt2\left(\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)+1\right) =\sqrt2\left(2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right)\right) =2\sqrt2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right). $$

Тождество доказано.

б) Аналогично преобразуем разность:

$$ \cos 2x-\sin 2x=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\cos 2x-\frac{\sqrt2}{2}\sin 2x\right) =\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right). $$

Тогда

$$ \cos 2x-\sin 2x-\sqrt2 =\sqrt2\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-\sqrt2 =\sqrt2\left(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right). $$

Используем формулу $$\cos 2\alpha-1=-2\sin^2\alpha$$ при $$\alpha=x+\frac{\pi}{8}$$:

$$ \sqrt2\left(\cos\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)-1\right) =\sqrt2\left(-2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)\right) =-2\sqrt2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right). $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \sin x+\cos x+\sqrt2=2\sqrt2\cos^2\left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{8}\right), $$
$$ \cos 2x-\sin 2x-\sqrt2=-2\sqrt2\sin^2\left(x+\frac{\pi}{8}\right). $$