Упр.22.31 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 3sin x + 4cos x;
6) 5cos x — 12sin x;
РІ) 7sin x — 24cos x;
Рі) 8cos x + 15sin x.

1. $$3\sin x+4\cos x$$

   Представим выражение в виде $$C\sin(x+t)$$:
   $$C=\sqrt{3^2+4^2}=5.$$
   Тогда
   $$3\sin x+4\cos x=5\left(\frac35\sin x+\frac45\cos x\right).$$
   Подберём $$t$$ так, чтобы
   $$\cos t=\frac35,\qquad \sin t=\frac45.$$
   Значит,
   $$t=\arcsin\frac45.$$
   Следовательно,
   $$3\sin x+4\cos x=5\sin\left(x+\arcsin\frac45\right).$$

2. $$5\cos x-12\sin x$$

   Представим выражение в виде $$C\cos(x+t)$$:
   $$C=\sqrt{5^2+12^2}=13.$$
   Тогда
   $$5\cos x-12\sin x=13\left(\frac5{13}\cos x-\frac{12}{13}\sin x\right).$$
   Подберём $$t$$ так, чтобы
   $$\cos t=\frac5{13},\qquad \sin t=\frac{12}{13}.$$
   Значит,
   $$t=\arcsin\frac{12}{13}.$$
   Следовательно,
   $$5\cos x-12\sin x=13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right).$$

3. $$7\sin x-24\cos x$$

   Представим выражение в виде $$C\sin(x+t)$$:
   $$C=\sqrt{7^2+(-24)^2}=25.$$
   Тогда
   $$7\sin x-24\cos x=25\left(\frac7{25}\sin x-\frac{24}{25}\cos x\right).$$
   Подберём $$t$$ так, чтобы
   $$\cos t=\frac7{25},\qquad \sin t=\frac{24}{25}.$$
   Значит,
   $$t=\arcsin\frac{24}{25}.$$
   Следовательно,
   $$7\sin x-24\cos x=25\sin\left(x-\arcsin\frac{24}{25}\right).$$

4. $$8\cos x+15\sin x$$

   Представим выражение в виде $$C\cos(x-t)$$:
   $$C=\sqrt{8^2+15^2}=17.$$
   Тогда
   $$8\cos x+15\sin x=17\left(\frac8{17}\cos x+\frac{15}{17}\sin x\right).$$
   Подберём $$t$$ так, чтобы
   $$\cos t=\frac8{17},\qquad \sin t=\frac{15}{17}.$$
   Значит,
   $$t=\arcsin\frac{15}{17}.$$
   Следовательно,
   $$8\cos x+15\sin x=17\cos\left(x-\arcsin\frac{15}{17}\right).$$

Ответ

а) $$5\sin\left(x+\arcsin\frac45\right)$$;
б) $$13\cos\left(x+\arcsin\frac{12}{13}\right)$$;
в) $$25\sin\left(x-\arcsin\frac{24}{25}\right)$$;
г) $$17\cos\left(x-\arcsin\frac{15}{17}\right)$$.