Упр.22.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin x + sin 2x — sin Зx = 0;
б) cos Зx — cos 5x = sin 4x.

а)

$$ \sin x+\sin 2x-\sin 3x=0 $$
$$ (\sin x-\sin 3x)+\sin 2x=0 $$
$$ 2\cos 2x\sin(-x)+2\sin x\cos x=0 $$
$$ -2\sin x\cos 2x+2\sin x\cos x=0 $$
$$ 2\sin x(\cos x-\cos 2x)=0 $$
$$ \cos 2x=2\cos^2 x-1 $$
$$ 2\sin x\bigl(\cos x-(2\cos^2 x-1)\bigr)=0 $$
$$ 2\sin x(2\cos^2 x-\cos x-1)=0 $$
$$ 2\sin x(2\cos x+1)(\cos x-1)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=\pi n $$
$$ 2\cos x+1=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=-\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n $$
$$ \cos x-1=0 \quad \Rightarrow \quad x=2\pi n $$

Так как $$x=2\pi n$$ входит в решение $$x=\pi n$$, получаем:

$$ x=\pi n,\quad x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

б)

$$ \cos 3x-\cos 5x=\sin 4x $$
$$ -2\sin\frac{3x+5x}{2}\sin\frac{3x-5x}{2}=\sin 4x $$
$$ -2\sin 4x\sin(-x)=\sin 4x $$
$$ 2\sin 4x\sin x=\sin 4x $$
$$ \sin 4x(2\sin x-1)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin 4x=0 \quad \Rightarrow \quad 4x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{4} $$
$$ 2\sin x-1=0 \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n $$

$$ x=\frac{\pi n}{4},\quad x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z $$

Ответ

а) $$x=\pi n,\ \pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$;
б) $$x=\frac{\pi n}{4},\ (-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.