Упр.22.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 1 + cos 6x = 2sin^2 5x;
б) cos^2 2x = cos^2 4x;
в) sin^2 x/2 = cos^2 7x/2;
г) sin^2 x + sin Зx = 1.

1. а) $$1+\cos 6x=2\sin^2 5x$$

   $$2\sin^2 5x=1-\cos 10x$$

   Тогда

   $$1+\cos 6x=1-\cos 10x$$

   $$\cos 10x+\cos 6x=0$$

   $$2\cos 8x\cos 2x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

   $$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8}$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2. б) $$\cos^2 2x=\cos^2 4x$$

   $$\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{1+\cos 8x}{2}$$

   $$\cos 4x=\cos 8x$$

   $$\cos 4x-\cos 8x=0$$

   $$-2\sin 6x\sin(-2x)=0$$

   $$2\sin 6x\sin 2x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 6x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0$$

   $$6x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{6}$$

   $$2x=\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi n}{2}$$

3. в) $$\sin^2 \frac{x}{2}=\cos^2 \frac{7x}{2}$$

   $$\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1+\cos 7x}{2}$$

   $$-\cos x=\cos 7x$$

   $$\cos 7x+\cos x=0$$

   $$2\cos 4x\cos 3x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

   $$3x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$

4. г) $$\sin^2 x+\sin^2 3x=1$$

   $$\frac{1-\cos 2x}{2}+\frac{1-\cos 6x}{2}=1$$

   $$\cos 2x+\cos 6x=0$$

   $$2\cos 4x\cos 2x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=0$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \quad \Rightarrow \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

б) $$x=\frac{\pi n}{6},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$

в) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\ n\in\mathbb{Z}$$

г) $$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4},\ \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}$$