Упр.22.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) cos x + cos Зx = 0;
б) sin 12x + sin 4x = 0;
в) cos x = cos 5x;
г) sin Зx = sin 17x.

1. а) $$\cos x+\cos 3x=0$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$$

   Тогда

   $$2\cos 2x\cos x=0$$

   Отсюда

   $$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=0$$

   $$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n$$

2. б) $$\sin 12x+\sin 4x=0$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin 12x+\sin 4x=2\sin 8x\cos 4x$$

   Тогда

   $$2\sin 8x\cos 4x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 8x=0 \quad \text{или} \quad \cos 4x=0$$

   $$8x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{8}$$

   $$4x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{4}$$

   Заметим, что второй набор решений входит в первый, поэтому

   $$x=\frac{\pi n}{8}$$

3. в) $$\cos x=\cos 5x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности косинусов:

   $$\cos x-\cos 5x=0$$

   $$-2\sin 3x\sin(-2x)=0$$

   $$2\sin 3x\sin 2x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 3x=0 \quad \text{или} \quad \sin 2x=0$$

   $$3x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{3}$$

   $$2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2}$$

4. г) $$\sin 3x=\sin 17x$$

   Перенесём всё в одну сторону и применим формулу разности синусов:

   $$\sin 3x-\sin 17x=0$$

   $$2\cos 10x\sin(-7x)=0$$

   $$-2\cos 10x\sin 7x=0$$

   $$\cos 10x\sin 7x=0$$

   Отсюда

   $$\sin 7x=0 \quad \text{или} \quad \cos 10x=0$$

   $$7x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{7}$$

   $$10x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10}$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi n}{3},\ \frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi n}{7},\ \frac{\pi}{20}+\frac{\pi n}{10},\ n\in\mathbb Z$$