Упр.22.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) а = cos 7x, b = cos 2х, с = cos 11x;
б) а = sin Зх, b = cos x, с = sin 5x?

а) Для арифметической прогрессии выполняется условие $$2b=a+c.$$

Тогда

$$2\cos 2x=\cos 7x+\cos 11x.$$

По формуле суммы косинусов:

$$\cos 7x+\cos 11x=2\cos 9x\cos 2x.$$

Получаем

$$2\cos 2x=2\cos 9x\cos 2x,$$

$$2\cos 2x(1-\cos 9x)=0.$$

Отсюда

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 9x=1.$$

1) $$\cos 2x=0,$$ тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

2) $$\cos 9x=1,$$ тогда

$$9x=2\pi n,$$

$$x=\frac{2\pi n}{9}.$$

б) Аналогично, для арифметической прогрессии:

$$2b=a+c.$$

Тогда

$$2\cos x=\sin 3x+\sin 5x.$$

По формуле суммы синусов:

$$\sin 3x+\sin 5x=2\sin 4x\cos x.$$

Получаем

$$2\cos x=2\sin 4x\cos x,$$

$$2\cos x(1-\sin 4x)=0.$$

Отсюда

$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin 4x=1.$$

1) $$\cos x=0,$$ тогда

$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

2) $$\sin 4x=1,$$ тогда

$$4x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,$$

$$x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ \frac{2\pi n}{9},\ n\in\mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ \frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb{Z}.$$