Упр.22.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) sin^2 10 + sin^2 130 + sin^2 110;
б) cos^2 35 + cos^2 25 — cos^2 5.

а) Используем формулу $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$:

$$ \sin^2 10^\circ+\sin^2 130^\circ+\sin^2 110^\circ = \frac{1-\cos 20^\circ}{2} +\frac{1-\cos 260^\circ}{2} +\frac{1-\cos 220^\circ}{2} $$
$$ = \frac{3-\cos 20^\circ-\cos 260^\circ-\cos 220^\circ}{2} $$
$$ = \frac{3-\cos 20^\circ+\sin 10^\circ+\cos 40^\circ}{2} $$
$$ = \frac{3+(\cos 40^\circ-\cos 20^\circ)+\sin 10^\circ}{2} $$
$$ = \frac{3-2\sin 30^\circ\sin 10^\circ+\sin 10^\circ}{2} = \frac{3-\sin 10^\circ+\sin 10^\circ}{2} = \frac{3}{2}. $$

б) Используем формулу $$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}$$:

$$ \cos^2 35^\circ+\cos^2 25^\circ-\cos^2 5^\circ = \frac{1+\cos 70^\circ}{2} +\frac{1+\cos 50^\circ}{2} -\frac{1+\cos 10^\circ}{2} $$
$$ = \frac{1+\cos 70^\circ+\cos 50^\circ-\cos 10^\circ}{2} $$
$$ = \frac{1+2\cos 60^\circ\cos 10^\circ-\cos 10^\circ}{2} = \frac{1+\cos 10^\circ-\cos 10^\circ}{2} = \frac{1}{2}. $$

Ответ

а) $$\frac{3}{2}$$;
б) $$\frac{1}{2}$$.