Упр.22.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

(sin a + sin 3a + sin 5a + sin 7a) / (cos a + cos 3a + cos 5a + cos 7a),
если ctg 4a = 0,2.

Используем формулы суммы синусов и косинусов:

$$ \sin a+\sin 7a=2\sin 4a\cos 3a,\qquad \sin 3a+\sin 5a=2\sin 4a\cos a $$
$$ \cos a+\cos 7a=2\cos 4a\cos 3a,\qquad \cos 3a+\cos 5a=2\cos 4a\cos a $$

Тогда

$$ \frac{\sin a+\sin 3a+\sin 5a+\sin 7a}{\cos a+\cos 3a+\cos 5a+\cos 7a} = \frac{2\sin 4a\cos 3a+2\sin 4a\cos a}{2\cos 4a\cos 3a+2\cos 4a\cos a} $$
$$ = \frac{2\sin 4a(\cos 3a+\cos a)}{2\cos 4a(\cos 3a+\cos a)} = \frac{\sin 4a}{\cos 4a} = \tg 4a $$

Так как $$\ctg 4a=0{,}2,$$ то

$$ \tg 4a=\frac{1}{\ctg 4a}=\frac{1}{0{,}2}=5 $$

Ответ

5