Упр.22.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin x + sin Сѓ + sin (x — y) = 4sin x/2 * cos x/2 * cos (x — y)/2;
Р±) (sin x + sin 2x + sin Р—x) / (cos x + cos 2x + cos Р—x) = tg 2x.

а) Используем формулы суммы синусов:

$$ \sin x+\sin y=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$
$$ \sin x+\sin y+\sin(x-y)=2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}+2\sin\frac{x-y}{2}\cos\frac{x-y}{2} $$
$$ =2\cos\frac{x-y}{2}\left(\sin\frac{x+y}{2}+\sin\frac{x-y}{2}\right) $$
$$ =2\cos\frac{x-y}{2}\cdot 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2} =4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}. $$

Тождество доказано.

б) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы суммы:

$$ \sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x $$
$$ \cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x $$

Тогда

$$ \frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x} = \frac{2\sin 2x\cos x+\sin 2x}{2\cos 2x\cos x+\cos 2x} $$
$$ = \frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)} = \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = \tg 2x. $$

Тождество доказано.

Ответ

$$ \text{а) } \sin x+\sin y+\sin(x-y)=4\sin\frac{x}{2}\cos\frac{y}{2}\cos\frac{x-y}{2}; \qquad \text{б) } \frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}=\tg 2x. $$