Упр.22.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin t + sin 2t + sin 3t + sin 4t;
6) cos 2t — cos 4t — cos 6t + cos 8t.

Подробный ответ

а) Используем формулу суммы синусов:

$$ \sin t+\sin 2t+\sin 3t+\sin 4t=(\sin t+\sin 4t)+(\sin 2t+\sin 3t) $$
$$ =2\sin \frac{t+4t}{2}\cos \frac{t-4t}{2}+2\sin \frac{2t+3t}{2}\cos \frac{2t-3t}{2} $$
$$ =2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{3t}{2}+2\sin \frac{5t}{2}\cos \frac{t}{2} $$
$$ =2\sin \frac{5t}{2}\left(\cos \frac{3t}{2}+\cos \frac{t}{2}\right) $$
$$ =2\sin \frac{5t}{2}\cdot 2\cos \frac{\frac{3t}{2}+\frac{t}{2}}{2}\cos \frac{\frac{3t}{2}-\frac{t}{2}}{2} $$
$$ =4\sin \frac{5t}{2}\cos t\cos \frac{t}{2}. $$

б) Применим формулу разности косинусов:

$$ \cos 2t-\cos 4t-\cos 6t+\cos 8t=(\cos 2t+\cos 8t)-(\cos 4t+\cos 6t) $$
$$ =2\cos \frac{2t+8t}{2}\cos \frac{2t-8t}{2}-2\cos \frac{4t+6t}{2}\cos \frac{4t-6t}{2} $$
$$ =2\cos 5t\cos 3t-2\cos 5t\cos t $$
$$ =2\cos 5t(\cos 3t-\cos t) $$
$$ =2\cos 5t\left(-2\sin \frac{3t+t}{2}\sin \frac{3t-t}{2}\right) $$
$$ =-4\cos 5t\sin 2t\sin t. $$