Упр.22.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 1/2 — cos t;
б) корень(3)/2 + sin t;
в) 1 + 2cos t;
г) cos t + sin t.

1. $$\frac12-\cos t=\cos\frac{\pi}{3}-\cos t$$

   Используем формулу разности косинусов:

   $$\cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$

   Тогда

   $$\frac12-\cos t=-2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\sin\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}=2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$

2. $$\frac{\sqrt3}{2}+\sin t=\sin\frac{\pi}{3}+\sin t$$

   Используем формулу суммы синусов:

   $$\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

   Получаем

   $$\frac{\sqrt3}{2}+\sin t=2\sin\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}=2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$

3. $$1+2\cos t=2\left(\frac12+\cos t\right)=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\cos t\right)$$

   Применим формулу суммы косинусов:

   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

   Тогда

   $$1+2\cos t=4\cos\frac{\frac{\pi}{3}+t}{2}\cos\frac{\frac{\pi}{3}-t}{2}=4\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$

4. $$\cos t+\sin t=\cos t+\cos\left(\frac{\pi}{2}-t\right)$$

   Используем формулу суммы косинусов:

   $$\cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$$

   Получаем

   $$\cos t+\sin t=2\cos\frac{t+\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{2}\cos\frac{t-\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{2}=\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}+t\right)$$

Ответ

а) $$2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
б) $$2\sin\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
в) $$4\cos\left(\frac{t}{2}+\frac{\pi}{6}\right)\cos\left(\frac{t}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$$
г) $$\sqrt2\sin\left(\frac{\pi}{4}+t\right)$$