Упр.21.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) sin 2x + 2sin x = 2 — 2cos x;
6) 4sin 2x + 8(sin x — cos x) = 7.

Подробный ответ

а)
$$\sin 2x+2\sin x=2-2\cos x$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$ 2\sin x\cos x+2\sin x=2-2\cos x $$
$$ 2\sin x\cos x+2\sin x+2\cos x=2 $$
Введём замену $$y=\sin x+\cos x$$. Тогда
$$ y^2=\sin^2 x+2\sin x\cos x+\cos^2 x=1+2\sin x\cos x $$
значит
$$ 2\sin x\cos x=y^2-1. $$
Получаем:
$$ y^2-1=2-2y $$
$$ y^2+2y-3=0 $$
$$ (y+3)(y-1)=0 $$
$$ y=-3 \text{ или } y=1. $$
Значение $$y=-3$$ невозможно, так как
$$\sin x+\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$
Тогда
$$ \sin x+\cos x=1. $$
Представим левую часть в виде:
$$ \sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1, $$
откуда
$$ \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}. $$
Следовательно,
$$ x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n. $$
Значит,
$$ x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
б)
$$4\sin 2x+8(\sin x-\cos x)=7$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$ 8\sin x\cos x+8(\sin x-\cos x)=7. $$
Введём замену $$y=\sin x-\cos x$$. Тогда
$$ y^2=\sin^2 x-2\sin x\cos x+\cos^2 x=1-2\sin x\cos x, $$
значит
$$ 2\sin x\cos x=1-y^2. $$
Подставим:
$$ 4(1-y^2)+8y=7 $$
$$ 4y^2-8y+3=0 $$
$$ D=64-48=16. $$
Тогда
$$ y_{1,2}=\frac{8\pm4}{8}, $$
то есть
$$ y_1=\frac32,\quad y_2=\frac12. $$
Значение $$y=\frac32$$ невозможно, так как
$$\sin x-\cos x\in[-\sqrt2,\sqrt2].$$
Поэтому
$$ \sin x-\cos x=\frac12. $$
Представим левую часть так:
$$ \sqrt2\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac12, $$
откуда
$$ \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{4}. $$
Следовательно,
$$ x-\frac{\pi}{4}=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Значит,
$$ x=(-1)^n\arcsin\frac{\sqrt2}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$