Упр.21.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos 1/(x2 — пи2) * sin 2x = 8sin x * cos x;
б) 16sin x * cos x + sin 2x * sin 1/2 = 0.

а) Преобразуем правую часть:

$$8\sin x\cos x=4\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot \sin 2x=4\sin 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sin 2x\left(\cos \frac{1}{x^2-\pi^2}-4\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{1}{x^2-\pi^2}=4.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos t\in[-1;1].$$

Значит, остаётся

$$\sin 2x=0,$$

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

С учётом области определения:

$$x^2-\pi^2\ne 0,\quad x\ne \pm \pi,$$

получаем

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\ne \pm 2.$$

б) Используем формулу $$16\sin x\cos x=8\sin 2x.$$ Тогда

$$8\sin 2x+\sin 2x\cdot \sin \frac{1}{x}=0.$$

Вынесем $$\sin 2x$$ за скобки:

$$\sin 2x\left(8+\sin \frac{1}{x}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 8+\sin \frac{1}{x}=0.$$

Второе уравнение не имеет решений, так как $$\sin \frac{1}{x}\in[-1;1].$$

Значит,

$$\sin 2x=0,$$

$$2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

С учётом области определения $$x\ne 0,$$ получаем $$n\ne 0.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\ne \pm 2.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\ne 0.$$