Упр.21.48 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin x = (2tg x/2) / (1 + tg^2 x/2);
б) cos x = (1 — tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2).

1. Докажем тождество
   $$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$
   Используем формулу двойного угла:
   $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}.$$
   Тогда
   $$ 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2} =\frac{2\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}\cdot \cos^2 \frac{x}{2} =2\tg \frac{x}{2}\cdot \cos^2 \frac{x}{2}. $$
   Так как
   $$1+\tg^2 \frac{x}{2}=\frac{\cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}=\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}},$$
   то
   $$\cos^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$
   Следовательно,
   $$ \sin x=2\tg \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{1+\tg^2 \frac{x}{2}} =\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}. $$
2. Докажем тождество
   $$\cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$
   Используем формулу
   $$\cos x=\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}.$$
   Представим её в виде дроби:
   $$ \cos x=\frac{\cos^2 \frac{x}{2}-\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}} =\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, $$
   так как
   $$ \cos^2 \frac{x}{2}+\sin^2 \frac{x}{2}=1,\qquad 1+\tg^2 \frac{x}{2}=\frac{1}{\cos^2 \frac{x}{2}}. $$

Ответ

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}},\qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$