Упр.21.44 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 4sin x + sin 2x = 0, x принадлежит [0; 2пи];
б) cos^2 (3x + пи/4) — sin^2 (3x + пи/4) + корень(3)/2 = 0, x принадлежит [3пи/4; пи].

а) Преобразуем уравнение, используя формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:

$$ 4\sin x+\sin 2x=0 $$
$$ 4\sin x+2\sin x\cos x=0 $$
$$ 2\sin x(2+\cos x)=0 $$

Отсюда:

$$ \sin x=0 \quad \text{или} \quad 2+\cos x=0 $$

Во втором случае $$\cos x=-2$$, что невозможно, так как $$-1\le \cos x\le 1$$. Значит, остаётся только

$$ \sin x=0 $$

На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:

$$ x=0,\ \pi,\ 2\pi $$

б) Используем формулу $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t$$:

$$ \cos^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)-\sin^2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0 $$
$$ \cos\left(2\left(3x+\frac{\pi}{4}\right)\right)+\frac{\sqrt3}{2}=0 $$
$$ \cos\left(6x+\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\sqrt3}{2} $$

Так как $$\cos\left(u+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin u$$, то

$$ -\sin 6x=-\frac{\sqrt3}{2} $$
$$ \sin 6x=\frac{\sqrt3}{2} $$

Общее решение:

$$ 6x=\frac{\pi}{3}+2\pi k \quad \text{или} \quad 6x=\frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z $$

Тогда

$$ x=\frac{\pi}{18}+\frac{\pi k}{3} \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{9}+\frac{\pi k}{3} $$

Найдём решения на отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$. Подходит только

$$ x=\frac{7\pi}{9} $$

Ответ

а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{7\pi}{9}$$.