Упр.21.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) cos x = (sin 22,5 * cos 22,5) / (cos^2 67,5 — sin^2 67,5);
6) sin x = (sin^2 75 — cos^2 75) / (4sin 15 * cos 15).

Подробный ответ

а)

$$ \cos x=\frac{\sin 22{,}5^\circ\cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ} $$
Используем формулы:
$$ \sin 2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha,\qquad \cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha. $$
Тогда
$$ \cos x=\frac{\frac12\sin(2\cdot 22{,}5^\circ)}{\cos(2\cdot 67{,}5^\circ)} =\frac{\frac12\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ}. $$
Так как
$$ \cos 135^\circ=\cos(90^\circ+45^\circ)=-\sin 45^\circ, $$
то
$$ \cos x=\frac{\frac12\sin 45^\circ}{-\sin 45^\circ}=-\frac12. $$
Следовательно,
$$ x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
Наибольший отрицательный корень:
$$ x=-\frac{2\pi}{3}=-120^\circ. $$

б)

$$ \sin x=\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ} $$
Преобразуем числитель и знаменатель:
$$ \sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ=-(\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ)=-\cos 150^\circ, $$
$$ 4\sin 15^\circ\cos 15^\circ=2\cdot(2\sin 15^\circ\cos 15^\circ)=2\sin 30^\circ. $$
Тогда
$$ \sin x=\frac{-\cos 150^\circ}{2\sin 30^\circ}. $$
Так как
$$ \cos 150^\circ=\cos(180^\circ-30^\circ)=-\cos 30^\circ,\qquad \sin 30^\circ=\frac12, $$
получаем
$$ \sin x=\frac{\cos 30^\circ}{2\sin 30^\circ}=\frac{\sqrt3}{2}. $$
Следовательно,
$$ x=\frac{\pi}{3}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z. $$
Наибольший отрицательный корень:
$$ x=-\frac{4\pi}{3}=-240^\circ. $$