Упр.21.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = 2cos 2x + sin^2 x;
б) f(x) = 2sin^2 3x — cos 6x.

1. а) Преобразуем выражение:

   $$ f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x $$

   Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и тождество $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$:

   $$ f(x)=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x =2\cos^2 x-\sin^2 x =2(1-\sin^2 x)-\sin^2 x =2-3\sin^2 x $$

   Так как $$0\le \sin^2 x\le 1$$, то

   $$ -3\le -3\sin^2 x\le 0 $$

   Следовательно,

   $$ -1\le 2-3\sin^2 x\le 2 $$

   Значит, наименьшее значение функции равно $$-1$$, а наибольшее — $$2$$.

2. б) Преобразуем выражение:

   $$ f(x)=2\sin^2 3x-\cos 6x $$

   Используем формулу $$\cos 6x=\cos^2 3x-\sin^2 3x$$ и тождество $$\cos^2 3x=1-\sin^2 3x$$:

   $$ f(x)=2\sin^2 3x-(\cos^2 3x-\sin^2 3x) =3\sin^2 3x-\cos^2 3x $$

   $$ =3\sin^2 3x-(1-\sin^2 3x) =4\sin^2 3x-1 $$

   Так как $$0\le \sin^2 3x\le 1$$, то

   $$ 0\le 4\sin^2 3x\le 4 $$

   Следовательно,

   $$ -1\le 4\sin^2 3x-1\le 3 $$

   Значит, наименьшее значение функции равно $$-1$$, а наибольшее — $$3$$.

Ответ

а) $$-1$$; $$2$$. б) $$-1$$; $$3$$.