Упр.21.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) cos РїРё/33 * cos 2РїРё/33 * cos 4РїРё/33 * cos 8РїРё/33 * cos 16РїРё/33;
Р±) cos РїРё/7 * cos 4РїРё/7 * cos 5РїРё/7.

1. Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и последовательно группируем множители:

   $$\cos \frac{\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{2\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{4\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{8\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{16\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{16\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{32\pi}{33}$$
   $$=\frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \left(\pi-\frac{\pi}{33}\right)$$
   $$=\frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{\pi}{33}=\frac{1}{32}.$$

2. $$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7}$$
   $$=\frac{1}{2\sin \frac{\pi}{7}}\sin \frac{2\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7}$$
   $$=\frac{1}{4\sin \frac{\pi}{7}}\sin \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7}$$
   $$=\frac{1}{8\sin \frac{\pi}{7}}\sin \frac{8\pi}{7}$$
   $$=\frac{1}{8\sin \frac{\pi}{7}}\sin \left(\pi+\frac{\pi}{7}\right)$$
   $$=\frac{1}{8\sin \frac{\pi}{7}}\sin \frac{\pi}{7}=\frac{1}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{32}$$; б) $$\frac{1}{8}$$.