Упр.21.38 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin 18 * cos 18 * cos 36 = 1/4 sin 72;
б) sin 18 * cos 36 = 1/4.

а) Проверим равенство:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac14 \sin 72^\circ$$

Преобразуем левую часть, используя формулу $$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac12 \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ$$

Снова применим формулу двойного аргумента:

$$\frac12 \sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac12 \cdot \frac12 \sin 72^\circ = \frac14 \sin 72^\circ$$

Равенство верно.

б) Проверим равенство:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac14$$

Преобразуем левую часть:

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ}{2\cos 18^\circ}$$

Так как $$\sin 36^\circ = \sin(90^\circ — 54^\circ) = \cos 54^\circ$$, удобнее воспользоваться формулой:

$$\sin 36^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac12 \sin 72^\circ$$

Тогда

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{\frac12 \sin 72^\circ}{2\cos 18^\circ} = \frac{\sin 72^\circ}{4\cos 18^\circ}$$

Но $$\sin 72^\circ = \cos 18^\circ$$, значит

$$\sin 18^\circ \cdot \cos 36^\circ = \frac{\cos 18^\circ}{4\cos 18^\circ} = \frac14$$

Равенство верно.

Ответ

а) верно; б) верно.