Упр.21.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^4 x + cos^4 x;
Р±) sin^8 x — cos^8 x.

Используем формулы:

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x,$$
$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}.$$

Так как $$\cos 2x=\frac{5}{13},$$ то

$$\sin^2 x=\frac{1-\frac{5}{13}}{2}=\frac{8}{26}=\frac{4}{13},$$
$$\cos^2 x=\frac{1+\frac{5}{13}}{2}=\frac{18}{26}=\frac{9}{13}.$$

а)

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1^2-2\cdot \frac{4}{13}\cdot \frac{9}{13} =1-\frac{72}{169} =\frac{97}{169}.$$

б)

$$\sin^8 x-\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)(\sin^4 x+\cos^4 x).$$

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=-\cos 2x=-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\sin^8 x-\cos^8 x=-\frac{5}{13}\cdot \frac{97}{169} =-\frac{485}{2197}.$$

Ответ

а) $$\frac{97}{169}$$; б) $$-\frac{485}{2197}$$.