Упр.21.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) t принадлежит [пи/2; пи];
6) t принадлежит [3пи/2; 2пи];
в) t принадлежит [0; пи/2];
г) t принадлежит [пи; 3пи/2].

Используем формулы:

$$1-\cos 2t=2\sin^2 t,\qquad 1+\cos 2t=2\cos^2 t.$$

Тогда

$$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}=\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|.$$

1. Если $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\le 0.$$

   Значит,

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(\sin t-\cos t).$$

   Преобразуем:

   $$\sqrt{2}(\sin t-\cos t)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t-\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

2. Если $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\ge 0.$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(\cos t-\sin t).$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{2}(\cos t-\sin t)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t\right)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

3. Если $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\ge 0,\ \cos t\ge 0.$$

   Значит,

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(\sin t+\cos t).$$

   Тогда

   $$\sqrt{2}(\sin t+\cos t)=2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

4. Если $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right],$$ то $$\sin t\le 0,\ \cos t\le 0.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=-\sqrt{2}(\sin t+\cos t).$$

   Преобразуем:

   $$-\sqrt{2}(\sin t+\cos t)=-2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\sin t+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos t\right)=-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ

а) $$2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right)$$; б) $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$; в) $$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$; г) $$-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right)$$.