Упр.21.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) cos^2 3t = (1 + sin (пи/2 — 6t)) / 2;
6) (1 — cos t) / (1 + cos t) = tg^2 t/2;
в) cos^2 3t = (1 — cos (6t — Зпи)) / 2;
г) (1 — cos t) / sin t = tg t/2.
$$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}$$
Так как $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)=\cos 6t,$$ то
$$\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}=\frac{1+\cos 6t}{2}=\frac{1+\cos(2\cdot 3t)}{2}=\cos^2 3t.$$
Тождество доказано.
$$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tg^2\frac{t}{2}$$
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{1-\cos t}{1+\cos t} = \frac{\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)+\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}} = \tg^2\frac{t}{2}. $$
Тождество доказано.
$$\cos^2 3t=\frac{1-\cos(6t-3\pi)}{2}$$
Так как $$\cos(6t-3\pi)=\cos(6t-\pi),$$ а затем $$\cos(6t-\pi)=-\cos 6t,$$ то
$$ \frac{1-\cos(6t-3\pi)}{2} = \frac{1-\cos(6t-\pi)}{2} = \frac{1+\cos 6t}{2} = \cos^2 3t. $$
Тождество доказано.
$$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg\frac{t}{2}$$
Преобразуем левую часть:
$$ \frac{1-\cos t}{\sin t} = \frac{\left(\cos^2\frac{t}{2}+\sin^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \tg\frac{t}{2}. $$
Тождество доказано.
Ответ
а) $$\cos^2 3t=\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2}$$; б) $$\frac{1-\cos t}{1+\cos t}=\tg^2\frac{t}{2}$$; в) $$\cos^2 3t=\frac{1-\cos(6t-3\pi)}{2}$$; г) $$\frac{1-\cos t}{\sin t}=\tg\frac{t}{2}$$.
