Упр.21.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin^2 2x = 1;
Р±) cos^2 4x = 1/2;
РІ) sin^2 x/2 = 3/4;
Рі) cos^2 x/4 = 1/4.

1. $$\sin^2 2x=1$$

   Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1-\cos 4x}{2}=1$$

   $$1-\cos 4x=2$$

   $$\cos 4x=-1$$

   Тогда

   $$4x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\cos^2 4x=\frac12$$

   Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

   $$\frac{1+\cos 8x}{2}=\frac12$$

   $$1+\cos 8x=1$$

   $$\cos 8x=0$$

   Следовательно,

   $$8x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac34$$

   Тогда

   $$\sin \frac{x}{2}=\pm \frac{\sqrt3}{2}$$

   Отсюда

   $$\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\cos^2 \frac{x}{4}=\frac14$$

   Тогда

   $$\cos \frac{x}{4}=\pm \frac12$$

   Следовательно,

   $$\frac{x}{4}=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\pm \frac{4\pi}{3}+8\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{8},\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+4\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\pm \frac{4\pi}{3}+8\pi n,\ n\in\mathbb Z$$