Упр.21.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 1 + sin a = 2cos^2 (45 — a/2);
6) 2sin^2 (45 — a) + sin 2a = 1;
РІ) 1 — sin a = 2 sin^2 (45 — a/2);
Рі) 2cos^2 (45 + a) + sin 2a = 1.

1. а)

   $$2\cos^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=1+\cos\left(2\cdot\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\right)$$
   $$=1+\cos(90^\circ-\alpha)=1+\sin\alpha.$$
   Тождество доказано.

2. б)

   $$2\sin^2(45^\circ-\alpha)+\sin2\alpha$$
   $$=1-\cos\left(2(45^\circ-\alpha)\right)+\sin2\alpha$$
   $$=1-\cos(90^\circ-2\alpha)+\sin2\alpha$$
   $$=1-\sin2\alpha+\sin2\alpha=1.$$
   Тождество доказано.

3. в)

   $$2\sin^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)=1-\cos\left(2\cdot\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)\right)$$
   $$=1-\cos(90^\circ-\alpha)=1-\sin\alpha.$$
   Тождество доказано.

4. г)

   $$2\cos^2(45^\circ+\alpha)+\sin2\alpha$$
   $$=1+\cos\left(2(45^\circ+\alpha)\right)+\sin2\alpha$$
   $$=1+\cos(90^\circ+2\alpha)+\sin2\alpha$$
   $$=1-\sin2\alpha+\sin2\alpha=1.$$
   Тождество доказано.

Ответ

а) $$1+\sin\alpha=2\cos^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
б) $$2\sin^2(45^\circ-\alpha)+\sin2\alpha=1$$
в) $$1-\sin\alpha=2\sin^2\left(45^\circ-\frac{\alpha}{2}\right)$$
г) $$2\cos^2(45^\circ+\alpha)+\sin2\alpha=1$$