Упр.21.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) (sin t — cos t)^2 = 1 — sin 2t;
6) 2cos^2 t = 1 + cos 2t;
в) (sin t + cos t)^2 = 1 + sin 2t;
г) 2sin^2 t = 1 — cos 2t.
$$ (\sin t-\cos t)^2=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t $$
Так как $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$, а $$2\sin t\cos t=\sin 2t$$, получаем:
$$ (\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t $$
$$ 1+\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)+(\cos^2 t-\sin^2 t) $$
$$ 1+\cos 2t=2\cos^2 t $$
$$ (\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t $$
Используем формулы $$\sin^2 t+\cos^2 t=1$$ и $$2\sin t\cos t=\sin 2t$$:
$$ (\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t $$
$$ 1-\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)-(\cos^2 t-\sin^2 t) $$
$$ 1-\cos 2t=2\sin^2 t $$
Ответ
а) $$ (\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t $$; б) $$ 2\cos^2 t=1+\cos 2t $$; в) $$ (\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t $$; г) $$ 2\sin^2 t=1-\cos 2t $$.
