Упр.20.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (tg x + tg 3x) / (1 — tg x * tg 3x) = 1;
6) (tg 5x — tg 3x) / (1 + tg 3x * tg 5x) = корень(3).

1. а) Используем формулу тангенса суммы:

   $$\frac{\tg x+\tg 3x}{1-\tg x\cdot \tg 3x}=\tg(x+3x)=\tg 4x.$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\tg 4x=1.$$

   Отсюда

   $$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z.$$

2. б) Используем формулу тангенса разности:

   $$\frac{\tg 5x-\tg 3x}{1+\tg 5x\cdot \tg 3x}=\tg(5x-3x)=\tg 2x.$$

   Тогда уравнение принимает вид:

   $$\tg 2x=\sqrt{3}.$$

   Отсюда

   $$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

   Следовательно,

   $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb Z.$$