Упр.20.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) (1 — tg 2a) / (1 + tg 2a) = tg (45 — 2a);
б) (tg a + tg b) / tg (a + b) + (tg a — tg b) / tg (a — b) = 2.

Подробный ответ

а) Используем формулу тангенса разности:

$$ \tg(45^\circ-2a)=\frac{\tg 45^\circ-\tg 2a}{1+\tg 45^\circ\cdot \tg 2a} $$
Так как $$\tg 45^\circ=1,$$ получаем
$$ \tg(45^\circ-2a)=\frac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}. $$
Следовательно,
$$ \frac{1-\tg 2a}{1+\tg 2a}=\tg(45^\circ-2a). $$
Тождество доказано.

б) Преобразуем каждую дробь, используя формулы суммы и разности тангенсов:

$$ \tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}. $$
Тогда
$$ \frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)} = \frac{\tg a+\tg b}{\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot \tg b}} + \frac{\tg a-\tg b}{\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot \tg b}}. $$
Сокращая, получаем
$$ (1-\tg a\cdot \tg b)+(1+\tg a\cdot \tg b)=2. $$
Значит,
$$ \frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}=2. $$
Тождество доказано.