Упр.20.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) tg (a + b);
б) tg (a — b).

Из условия имеем:

$$\tg \alpha=\frac{2}{5}, \qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-3.$$

Так как

$$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-\ctg \beta,$$

то

$$-\ctg \beta=-3 \Rightarrow \ctg \beta=3 \Rightarrow \tg \beta=\frac{1}{3}.$$

Теперь используем формулы тангенса суммы и разности:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}$$

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}.$$

а)

$$ \tg(\alpha+\beta)=\frac{\frac{2}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}} =\frac{\frac{6+5}{15}}{1-\frac{2}{15}} =\frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}} =\frac{11}{13}. $$

б)

$$ \tg(\alpha-\beta)=\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}} =\frac{\frac{6-5}{15}}{1+\frac{2}{15}} =\frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}} =\frac{1}{17}. $$

Ответ

а) $$\frac{11}{13}$$; б) $$\frac{1}{17}$$.