Упр.20.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мордкович, Семенов 10 класс, Мнемозина: 20.16 Точка К — середина стороны CD квадрата ABCD. Чему равен угол между диагональю АС и отрезком ВК?

Пусть диагонали квадрата пересекаются в точке $E$. Тогда нужно найти угол между прямыми $AC$ и $BK$, то есть угол $\\angle AEB$.

Рассмотрим треугольник $BKC$. Так как $K$ — середина стороны $CD$, то

$$CK=\\frac12 CD=\\frac12 BC.$$

Следовательно,

$$\\tg \\angle CBK=\\frac{CK}{BC}=\\frac12,$$

а значит,

$$\\angle CBK=\\arctg \\frac12.$$

Диагональ квадрата биссектрисa угла при вершине $C$, поэтому

$$\\angle BCE=45^\\circ,$$

где $E=AC\\cap BK$.

Теперь в треугольнике $BEC$ искомый угол равен

$$\\angle AEB=\\angle CBE+\\angle BCE.$$

Найдём его тангенс:

$$ \\tg \\angle AEB =\\tg(\\angle CBE+\\angle BCE) =\\frac{\\tg \\angle CBE+\\tg \\angle BCE}{1-\\tg \\angle CBE\\cdot \\tg \\angle BCE} =\\frac{\\frac12+1}{1-\\frac12\\cdot 1} =3. $$

Значит,

$$\\angle AEB=\\arctg 3.$$

Ответ

$$\\arctg 3$$