Упр.20.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Зная, что tg a = 3 и tg (a + b) = 1, найдите tg b.
б) Зная, что tg a = 1/4 и tg (a — b) = 2, найдите tg b.

1. Используем формулу тангенса суммы:

   $$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

   При $$\tg\alpha=3$$ и $$\tg(\alpha+\beta)=1$$ получаем:

   $$\frac{3+\tg\beta}{1-3\tg\beta}=1.$$

   Тогда

   $$3+\tg\beta=1-3\tg\beta,$$

   $$4\tg\beta=-2,$$

   $$\tg\beta=-\frac12.$$

2. Используем формулу тангенса разности:

   $$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

   При $$\tg\alpha=\frac14$$ и $$\tg(\alpha-\beta)=2$$ получаем:

   $$\frac{\frac14-\tg\beta}{1+\frac14\tg\beta}=2.$$

   Умножим на знаменатель:

   $$\frac14-\tg\beta=2\left(1+\frac14\tg\beta\right),$$

   $$\frac14-\tg\beta=2+\frac12\tg\beta,$$

   $$-\tg\beta-\frac12\tg\beta=2-\frac14,$$

   $$-\frac32\tg\beta=\frac74,$$

   $$\tg\beta=-\frac76.$$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac76$$.