Упр.20.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите tg a, если tg (a — пи/4) = 3.
б) Найдите ctg a, если tg (a + пи/4) = 0,2.

а) Используем формулу тангенса разности:

$$ \tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}} $$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:

$$ \frac{\tg a-1}{1+\tg a}=3 $$

$$ \tg a-1=3(1+\tg a) $$

$$ \tg a-1=3+3\tg a $$

$$ -2\tg a=4 $$

$$ \tg a=-2 $$

б) Используем формулу тангенса суммы:

$$ \tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}} $$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ имеем:

$$ \frac{\tg a+1}{1-\tg a}=0{,}2 $$

$$ \tg a+1=0{,}2(1-\tg a) $$

$$ \tg a+1=0{,}2-0{,}2\tg a $$

$$ 1{,}2\tg a=-0{,}8 $$

$$ \tg a=-\frac{0{,}8}{1{,}2}=-\frac{2}{3} $$

Тогда

$$ \ctg a=\frac{1}{\tg a}=-\frac{3}{2} $$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$-\frac{3}{2}$$.