Упр.2.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) y = корень(-x2 + 4x — 5);
б) y = корень((x2 — 4x + 1)/5);
в) y = корень(-2×2 + 8x + 9);
Г) y = корень(5/(2×2 — 4x + 2)).

Подробный ответ

а) $$y=\sqrt{-x^2+4x-5}$$
Для существования функции нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:
$$-x^2+4x-5\ge 0$$
или
$$x^2-4x+5\le 0$$
Но
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0,$$
а значит, $$x^2-4x+5>0$$ при любом $$x$$. Следовательно, не существует таких значений $$x$$, при которых функция определена.
Функция не существует.
б) $$y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}$$
Нужно, чтобы
$$\frac{x^2-4x+1}{5}\ge 0$$
Так как $$5>0$$, получаем
$$x^2-4x+1\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12,$$
$$x_{1,2}=\frac{4\pm\sqrt{12}}{2}=2\pm\sqrt{3}.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\le 2-\sqrt{3}\quad \text{или}\quad x\ge 2+\sqrt{3}.$$
Следовательно, значения функции неотрицательны, а значит, функция ограничена снизу.
в) $$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}$$
Для области определения:
$$-2x^2+8x+9\ge 0$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-8}{2\cdot(-2)}=2.$$
Так как $$a=-2<0,$$ парабола направлена вниз, значит, функция имеет наибольшее значение в вершине:
$$y_{\max}=\sqrt{-2\cdot 2^2+8\cdot 2+9}=\sqrt{17}.$$
Минимальное значение равно $$0$$, так как подкоренное выражение может обращаться в нуль на концах области определения.
Следовательно, функция ограничена снизу и сверху.
г) $$y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}$$
Преобразуем знаменатель:
$$2x^2-4x+2=2(x-1)^2.$$
Тогда
$$y=\sqrt{\frac{5}{2(x-1)^2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}\cdot \frac{1}{|x-1|}.$$
При $$x\ne 1$$ имеем $$|x-1|>0,$$ значит
$$\frac{1}{|x-1|}>0,$$
и потому
$$y>0.$$
Следовательно, функция ограничена снизу.