Упр.2.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

y =
система
х3, если х < 0, -х2 + 2х + 2, если 0 < = х < = 2, х, если 2 < х < = 4.

Функция задана по частям:

$$ y= \begin{cases} x^3, & x<0,\\ -x^2+2x+2, & 0\le x\le 2,\\ x, & 2<x\le 4. \end{cases} $$

Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $$x<0$$ имеем график функции $$y=x^3$$ — кубическая парабола. Для построения удобно взять несколько точек:

   $$ x=-2,\; y=-8;\qquad x=-1,\; y=-1. $$

2. При $$0\le x\le 2$$ имеем параболу $$y=-x^2+2x+2$$. Её вершина:

   $$ x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,\qquad y_0=-1^2+2\cdot1+2=3. $$

   На концах отрезка:

   $$ y(0)=2,\qquad y(2)=2. $$

3. При $$2<x\le 4$$ имеем прямую $$y=x$$. Для построения достаточно точек:

   $$ (2,2),\qquad (4,4). $$

Соединяем полученные части с учётом области определения каждой из них. В точке $$x=0$$ значение функции равно $$2$$, а слева график кубической функции подходит к точке $$\bigl(0,0\bigr)$$, поэтому в точке $$x=0$$ есть разрыв.

Свойства функции:

$$ D(y)=(-\infty;4], $$
$$ E(y)=(-\infty;0)\cup[2;4]. $$

Функция возрастает на $$(-\infty;0)\cup[0;1]\cup[2;4]$$, убывает на $$[1;2]$$.

Функция ограничена сверху, но не ограничена снизу. Наибольшее значение:

$$ y_{\max}=4,\quad \text{оно достигается при } x=4. $$

Наименьшего значения не существует.

Ответ

$$ D(y)=(-\infty;4],\qquad E(y)=(-\infty;0)\cup[2;4]. $$
График состоит из части кубической параболы при $$x<0$$, части параболы при $$0\le x\le 2$$ и части прямой при $$2<x\le 4$$.