Упр.19.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) sin (5пи/6 — a) — 1/2 cos а;
б) корень(з) cos а — 2 cos (a — пи/6);
в) корень(3)/2 sin а + cos (а — 5пи/3);
г) корень(2) sin (а — пи/4) — sin а.

1. $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)-\frac12\cos a$$

   Используем формулу разности синусов:
   $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)=\sin\frac{5\pi}{6}\cos a-\cos\frac{5\pi}{6}\sin a$$
   Тогда
   $$\sin\left(\frac{5\pi}{6}-a\right)-\frac12\cos a=\frac12\cos a+\frac{\sqrt3}{2}\sin a-\frac12\cos a=\frac{\sqrt3}{2}\sin a.$$

2. $$\sqrt3\cos a-2\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)$$

   По формуле косинуса разности:
   $$\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\cos a\cos\frac{\pi}{6}+\sin a\sin\frac{\pi}{6}$$
   Получаем
   $$\sqrt3\cos a-2\cos\left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\cos a-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos a+\frac12\sin a\right)=-\sin a.$$

3. $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)$$

   Так как
   $$\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos a\cos\frac{5\pi}{3}+\sin a\sin\frac{5\pi}{3},$$
   то
   $$\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a.$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\cos\left(a-\frac{5\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt3}{2}\sin a+\frac12\cos a-\frac{\sqrt3}{2}\sin a=\frac12\cos a.$$

4. $$\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)-\sin a$$

   Используем формулу синуса разности:
   $$\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\sin a\cos\frac{\pi}{4}-\cos a\sin\frac{\pi}{4}$$
   Тогда
   $$\sqrt2\sin\left(a-\frac{\pi}{4}\right)-\sin a=\sqrt2\left(\sin a\cdot\frac{\sqrt2}{2}-\cos a\cdot\frac{\sqrt2}{2}\right)-\sin a=\sin a-\cos a-\sin a=-\cos a.$$

Ответ

а) $$\frac{\sqrt3}{2}\sin a$$; б) $$-\sin a$$; в) $$\frac12\cos a$$; г) $$-\cos a$$.