Упр.19.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) корень(2)/2 sin х — корень(2)/2 cos х = 1;
б) sin x — cos x = 1;
в) корень(3)/2 cos x + 1/2 sin x = 1;
г) корень(3)cos x + sin x = 1.

1. $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=1$$

   Используем формулу:

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sin x\cos\frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}$$

   Тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

2. $$\sin x-\cos x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac{\sqrt2}{2}$$:

   $$\frac{\sqrt2}{2}\sin x-\frac{\sqrt2}{2}\cos x=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Тогда

   $$\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=\pi+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

3. $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=1$$

   Используем формулу:

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\cos x\cos\frac{\pi}{6}+\sin x\sin\frac{\pi}{6}$$

   Тогда

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=1$$

   Отсюда

   $$x-\frac{\pi}{6}=2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

4. $$\sqrt3\cos x+\sin x=1$$

   Умножим обе части на $$\frac12$$:

   $$\frac{\sqrt3}{2}\cos x+\frac12\sin x=\frac12$$

   Тогда

   $$\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac12$$

   Следовательно,

   $$x-\frac{\pi}{6}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

   $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n \quad \text{или} \quad x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

Ответ

а) $$x=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

б) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

в) $$x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$

г) $$x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\ x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$