Упр.19.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) sin 0,2x * cos 0,8x + cos 0,2x * sin 0,8x = cos 3x * cos 2x + sin 3x * sin 2x,
x принадлежит [0; Зпи];
б) cos 0,7x * cos 1,3x — sin 0,7x * sin 1,3x = sin 7x * cos 9x — sin 9x * cos 7x,
x принадлежит [-пи; пи].

Подробный ответ

а) Используем формулы суммы синусов и косинусов:
$$\sin 0{,}2x \cdot \cos 0{,}8x + \cos 0{,}2x \cdot \sin 0{,}8x = \sin(0{,}2x+0{,}8x)=\sin x,$$
$$\cos 3x \cdot \cos 2x + \sin 3x \cdot \sin 2x = \cos(3x-2x)=\cos x.$$
Тогда уравнение принимает вид:
$$\sin x=\cos x.$$
Так как $$\cos x \ne 0$$ для найденных корней, делим на $$\cos x$$:
$$\tg x=1.$$
Общее решение:
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
На промежутке $$[0;3\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{4},\ \frac{5\pi}{4},\ \frac{9\pi}{4}.$$
б) Преобразуем левую и правую части по формулам:
$$\cos 0{,}7x \cdot \cos 1{,}3x — \sin 0{,}7x \cdot \sin 1{,}3x = \cos(0{,}7x+1{,}3x)=\cos 2x,$$
$$\sin 7x \cdot \cos 9x — \sin 9x \cdot \cos 7x = \sin(7x-9x)=\sin(-2x)=-\sin 2x.$$
Получаем уравнение:
$$\cos 2x=-\sin 2x.$$
Так как $$\cos 2x \ne 0$$ для найденных корней, делим на $$\cos 2x$$:
$$\tg 2x=-1.$$
Общее решение:
$$2x=-\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
$$x=-\frac{\pi}{8}+\frac{\pi n}{2}.$$
На промежутке $$[-\pi;\pi]$$ получаем:
$$x=-\frac{5\pi}{8},\ -\frac{\pi}{8},\ \frac{3\pi}{8},\ \frac{7\pi}{8}.$$